Ключевое средство обучения учащихся математике – это математическая задача.  В данной статье обсудим сложность классификации задач по теме «Многоугольники». Комплекс отобранных учителем математических задач должен удовлетворять определенным условиям. Эти условия могут быть определены через педагогические задачи, которые ставит перед собой учитель перед подготовкой к уроку. Педагогической задачей может быть цель решения задачи, например: для мотивации обучения, для выработки навыков вычислений и преобразований,   для развития мышления и пространственного воображения,   для показа применения знаний, либо  для других целей, среди которых важное место занимает использование задач для развития познавательного интереса учащихся к изучению математики.

В соответствие с указанными дидактическими целями, математические задачи предлагаем подразделить на:

·        ознакомительные (тренировочные);

·        алгоритмические (решаемые по образцу);

·        реалистичными (показывающие применение знаний);

·        особенные (требующие нестандартного поиска решения).

В  качестве примера приведем задачи, которые классифицированы по отношению к изучаемой  теореме.  Пусть дана теорема : «Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180^о».

В качестве применения этой теоремы рекомендуем  такой мини-комплекс  задач по теме «Многоугольники».

1.Можно ли описать окружность около: а) прямоугольника; б) параллелограмма; в) ромба; г) квадрата; д) равнобедренной трапеции; е) прямоугольной трапеции? Ответ. а), г), д) Да; б), в) е) нет.

2.Можно ли описать окружность около четырехугольника, углы которого последовательно равны: а) 70^о, 130^о, 110^о, 50^о; б) 90^о, 90^о, 60^о, 120^о; в) 45^о, 75^о, 135^о, 105^о; г) 40^о, 125^о, 55^о, 140^о?  Ответ. а), в) да; б), г) нет.

3. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 80^о и 60^о. Найдите два других угла четырехугольника. Ответ. 100^о и 120^о.

4.Углы  A, B и C четырехугольника ABCD относятся как 2:3:4. Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ. 90^о.

Наблюдения показывают, что сначала учитель определяется с мотивационным подходом, который будет им применяться при обучении учащихся. Для примера рассмотрим мотивационное поле познавательного интереса.  В этом случае, составляя комплекс задач для развития познавательного интереса, рекомендуем соблюдать следующие требования:

·        подобранные задачи должны быть разнообразными по способам решения;

·        тематика задач должна быть разнообразной, т.е. относится к разным областям человеческой деятельности;

·        оригинальные задачи, задачи-шутки, исторические задачи должны отвечать учебным целям, т.е. должны быть связаны с изучаемой темой.

Комплекс задач рекомендуем дополнить интересной, на наш взгляд, подборкой задач  и заданий на дом. Здесь важными  находим вопросы организации домашней работы учащихся, их внеклассного чтения по математике, привлечения родителей к воспитанию   интереса.  К таким задачам можно отнести, например, такой мини-комплекс при изучении применения теоремы:  «Для произвольного четырехугольника  ABCD  существует четырехугольник A’B’C’D’ с такими же сторонами, около которого можно описать окружность».

Задачи

1.Можно ли описать окружность около четырехугольника со сторонами 1 см, 2 см, 3 см, 4 см?  Ответ. Да.

2.Можно ли описать окружность около четырехугольника со сторонами 1 см, 2 см, 3 см, 4 см и одной диагональю 4 см. Ответ. Нет.

3.Стороны вписанного в окружность четырехугольника ABCD равны a, b, c, d. Найдите его диагонали.  Ответ:

4.Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что  S_AOB = S_COD тогда и только тогда, когда  BC || AD. 

Решение. Если  S_AOB = S_COD, то  AO ^. BO = CO ^. DO. Поэтому  AOD  COB и  AD || BC. Эти рассуждения обратимы. 

5.Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке P. Известны площади треугольников ABP, BCP, CDP. Найдите площадь треугольника ADP. 

6.Выпуклый четырехугольник разбит диагоналями на четыре треугольника, площади которых выражаются целыми числами. Докажите, что произведение этих чисел представляет собой точный квадрат.

Решение. Согласно задаче a)  S_ADP ^. S_CBP = S_ABP ^. S_CDP.  Поэтому:

S_ABP ^. S_CBP ^. S_CDP ^. S_ADP = (S_ADP ^. S_CBP)².

Комплекс задач рекомендуем использовать при организации  читательских конференций,  для создания альбомов лучших работ, организации выставок работ учащихся, демонстрации их на родительском собрании.

В заключение отметим, что разнообразие форм работы с комплексом задач зависит от проявления творчества учителей.  Роль задачи разнообразна и сложна, поскольку решение задач является не только средством, но и результатом обучения. Учитель должен уметь осуществлять подбор ключевых задач к каждой теме.