Вопрос о половых различиях в процессе освоения тех или иных знаний всегда вызывал интерес и у теоретиков, и у практиков образования. Давнюю историю имеет эта проблема применительно к математическим дисциплинам. Любой опытный педагог замечал, что девочки более последовательны в своих действиях, логичны, не чуждаются рутинной вычислительной работы, четко придерживаются алгоритмов, правил и в решении задания, и в его оформлении. Мальчики быстрее улавливают суть, ищут и любят находить бытовые интерпретации для математических положений и объектов, чаще генерируют идеи (хотя далеко не всегда верные) и не любят подробно их проверять, т.е. ориентированы скорее на результат, нежели на процесс.

Достаточно четко эта дифференциация наблюдается и на занятиях по геометрии. Прежде всего, учащиеся по-разному запоминают чертежи: если у девочек, как правило, в памяти откладывается сам визуальный (зрительный) образ фигуры, то мальчики в первую очередь фиксируют взаимное расположение линий, поверхностей или их элементов. Представительницы "слабого" пола легче создают синтетические образы (яркие, эмоциональные, адекватные реальным объектам), а "сильная" часть человечества - конструктивные (отражающие скорее не вещественный предмет, а его структуру, отношения между элементами в нем) [1]. Это ярко проявляется, например, в рисунках учащихся: девочки с удовольствием изображают красавиц и их наряды со всеми деталями и аксессуарами одежды; мальчики - технические объекты (машины, танки). При этом для них не столько важно внешнее оформление картины, сколько четкая фиксация и закрепленность взаимоположения изображенных объектов. И с возрастом эти различия, как правило, увеличиваются.

Кроме того, "слабый" пол легче создает пространственные образы, в то время как представителям "сильной" половины проще оперировать ими. Что касается процесса ориентации, то половые различия пока четко не установлены, но обнаружены ситуативные различия в зависимости от места и способа ориентации. Статистически зафиксировано, что мальчики лучше ориентируются среди конструктивных образов (строений в городах), а девочки чувствуют себя увереннее при наличии и выделении синтетических объектов. Им присуще пронизывающее пространственную обстановку "чувство направления" (например, на восток). По способу ориентации девочки чаще пользуются и создают "карту-путь", а мальчики - "карту-обозрение" (по терминологии Ф. Н. Шемякина) [2]. Суть первого способа состоит в том, что человек отслеживает в представлении пройденный или воображаемый путь и при этом постоянно определяет свое местоположение относительно начальной и конечной его точки. При ориентации вторым способом индивид создает целостную картину (своеобразную карту) всех пространственных отношений объектов окрестности, взаимоположения предметов (фигур) или их элементов.

Вместе с тем, несмотря на большое количество ярких эмпирических фактов, в научных исследованиях, посвященных этой проблеме, встречаются явные противоречия. Так, в исследовании А. Каймерон было обнаружено, с одной стороны, отсутствие половых различий в математическом мышлении, с другой - их наличие в важной его составляющей - способности к пространственным представлениям и отмечается, например, "превосходство мальчиков в воображении более сложных геометрических форм" [3, р. 43].

стр. 30


--------------------------------------------------------------------------------

Еще более яркое противоречие прослеживается в широкомасштабном исследовании В. А. Крутецкого [4]. Автор писал:

"Мы должны сказать со всей определенностью, что наше исследование, а также исследования И. В. Дубровиной и С. И. Шапиро не обнаружили каких-либо качественных, специфических особенностей в математическом мышлении мальчиков и девочек. Не указали на эти различия и опрошенные нами учителя" [4, с. 377]. Но уже на следующей странице своей монографии он утверждает, что "мальчики чаще обнаруживают математические... способности. В младших классах это почти незаметно, в старших становится весьма ощутимым. Победителями в математических олимпиадах чаще бывают мальчики, чем девочки, больше их учится в специальных математических школах и классах" [4, с. 378].

Отмеченное противоречие у В. А. Крутецкого, на наш взгляд, можно попытаться объяснить господствовавшей в то время в нашей стране идеологией, которая не позволяла признать психологическое преимущество одного пола перед другим. Поэтому, несмотря на явно наблюдаемые половые различия, большинство отечественных исследователей "приходили" к выводу об их отсутствии.

Любопытную попытку объяснить природу обсуждаемых различий предпринял пенсильванский психолог Р. Гэр (1999). Он опирался на разделяемое некоторыми биологами положение о том, что у мужчин мозг на 10% больше, чем у женщин. Однако, по мнению исследователя, это не обеспечивает "сильной" половине человечества общее интеллектуальное преимущество. Различие наблюдается лишь в пространственной ориентации. Последнее он объясняет тем, что при относительном равенстве серой массы женский мозг заметно уступает мужскому по количеству белого вещества, отвечающего за ориентацию в пространстве.

Не будем вдаваться в биологические тонкости этого спорного и неоднозначного, на наш взгляд, факта (тем более что корректировать биологическую составляющую педагогу не дано) и сосредоточим свое внимание на его психологическом объяснении. Оно может подсказать путь воспитательных воздействий, который, собственно, и ищет педагог. Ученые Бергенского университета, анализируя причину различия математических способностей у мальчиков и девочек [5], достаточно убедительно объясняют их различным уровнем притязаний (самооценки) у детей (более высокой математической Я-концепцией у мальчиков по сравнению с девочками). Оказывается, причина кроется в различном воспитании тех и других. Такое объяснение подсказывает педагогический путь и технологию развития новых математических талантов (формирование высокой самооценки математической деятельности у девочек). Однако не совсем ясной остается внутренняя психологическая причина различия половых Я-концепций. Достаточно ли только повышения самооценки для успешности в математической деятельности и развития соответствующих способностей? Очевидно, нет. Необходимо учитывать, использовать и формировать еще и какие-то специфические математические особенности мышления и способностей. Какие?

Наличие любых различий мышления (в том числе и половых) вызвано некоторой психологической спецификой его структуры и во многом обусловлено различиями отношения и воспитания. Поэтому для ответа на поставленный вопрос необходимо прежде всего описать структуру математического мышления и особенности воспитательных воздействий на детей в зависимости от их половой принадлежности.

Начнем с описания структуры. Психологические исследования показывают, что она включает в себя пять основных пересекающихся подструктур, среди которых всегда существует доминантная (главная, преобладающая).

Поясним это решением задачи, в которой требуется назвать лишнюю цифру среди следующих:



Возможны различные варианты ответов:

1) 0, так как эта цифра единственная, которая представляется в виде замкнутой ломаной линии;

2) 1 и 2, так как они не похожи на буквы;

3) 1, так как в начертании нет параллельных отрезков;

стр. 31


--------------------------------------------------------------------------------

4) 1, так как цифра состоит из двух отрезков, а остальные - из четырех;

5) 1, так как остальные можно преобразовать (перекомбинировать) друг в друга.

А какой из них верный? Очевидно, каждый имеет право на существование.

Дело в том, что при изучении различных математических объектов или их образов человек вычленяет в них прежде всего те или иные отношения в зависимости от того, какая из подструктур его математического мышления является у него более развитой и чаще других используемой.

У людей, выбравших первый ответ, развита и выражена ярче топологическая подструктура. Это проявляется в том, что они вычленяют в объектах и легче оперируют такими пространственно-математическими характеристиками, как "непрерывно - разрывно", "связно - несвязно", "компактно - некомпактно", "принадлежит - не принадлежит", "внутри - вне". Они не любят торопиться. Каждое действие осуществляют очень подробно, стараясь не пропустить в нем ни одного звена. И в данном задании "топологи" (назовем их так) вычленили в первую очередь свойство замкнутости в начертании фигуры (цифры).

Тем, у кого преобладает проективная подструктура, ближе второй ответ. Любимое занятие для них - рассматривать и изучать объект с различных точек зрения, под разным углом, устанавливать соответствие между объектом и его изображением и, наоборот, искать и находить различные применения и возможности использования предмета в практике, его бытовое назначение и применение. Поэтому, рассматривая заданное изображение прежде всего как проекцию другого предмета, его уподобляемость некоторым объектам, они обратили внимание именно на то, что одни цифры похожи, являются проекцией букв, а другие - нет.

Сравнивать и оценивать в общем качественном виде ("равно - не равно", "больше - меньше", "ближе - дальше", "выше - ниже", "над - под", "до - после") предпочитают те, у кого доминирующей является порядковая подструктура. Вместе с тем им очень важна форма объектов, их соотношение (именно поэтому они выбирают третий из предложенных ответов), направление движения (по или против часовой стрелки, вверх или вниз). Действуют эти люди логично, последовательно, по порядку. Работа по алгоритму для них - любимое занятие.

"Метристы" - люди с главной метрической подструктурой - акцентируют свое внимание на количественных характеристиках. Основной вопрос для них - "сколько?" (каковы длина, площадь, расстояние, величина в числовом выражении). Поэтому именно они выделили в задании количество отрезков в начертании каждой из цифр (четвертый вариант).

Наконец, последний ответ выбирают люди с доминирующей алгебраической (композиционной) подструктурой. Они постоянно стремятся к всевозможным комбинациям и манипуляциям, вычленению частей и их сбору в единое целое (единый блок), к сокращению и замене нескольких преобразований одним. Это те самые "торопыги", которые в противоположность "топологам" не хотят и с огромным трудом заставляют себя подробно прослеживать, записывать, объяснять все шаги решения или обосновывать собственные действия. Эти "великие комбинаторы" думают и делают быстро, но при этом часто и ошибаются.

С самого раннего детства девочек и мальчиков воспитывают по-разному, а потому формируют разные интересы, потребности и особенности мышления. От девочек требуют в первую очередь аккуратности и исполнительности. Вместе с тем считается, что самой мужской природе эти качества противоречат. Мальчишка по природе - бунтарь, от него ждут неожиданностей, изобретательности, неординарности.

В раннем детстве свою любимую куклу девочка не просто бережет. Она ее одевает (замыкает, дополняет), кормит (вводит во внутрь, заполняет пустоты) 1 ; следит за на-


--------------------------------------------------------------------------------

1 Заметим, что в раннем детстве (преддошкольном) и собственно дошкольном возрасте одно и то же действие дети осуществляют по-разному. В соответствии со своей ведущей деятельностью в первом случае они осуществляют предметно-манипулятивное преобразование, а во втором - сюжетно-ролевое (Л. С. Выготский, Д. Б. Эльконин) Так, "кормя" куклу, пятилетняя девочка изображает миму (или другою взрослою), а двухлетний ребенок осуществляет именно предметную манипуляцию, пытаясь протолкнуть один предмет (ложку) вовнутрь другого (рот куклы).

стр. 32


--------------------------------------------------------------------------------

личием и порядком не только в ее оформлении, но и в количественном и качественном соответствии, во взаимодействии с другими предметами окружающего мира. Тем самым у нее формируются прежде всего топологическая, метрическая и порядковая подструктуры. Знакомство со своей новой игрушкой (например, машиной) мальчик начинает с ее изучения, которое заключается в выделении и вычленении (разборке) ее деталей и дальнейшей попытке соединить последние в единое целое, что далеко не всегда у него получается (алгебраическое преобразование). Вначале он предполагает (проецирует) возможности своей игрушки ("что будет, если..."), а затем проверяет свою гипотезу - налицо проективное преобразование. В принципе мальчику предлагают, и он постепенно втягивается в деятельность по конструированию, техническому моделированию. Другими словами, у "сильного" пола естественным образом формируются алгебраическая и проективная подструктуры.

Утверждать, что две последние подструктуры более весомы для математической деятельности, чем предыдущие три (которые преимущественно развиваются у девочек), нельзя, да и неверно. Каждая из них занимает свое место, имеет свои плюсы и минуты. Но именно они и порождают некоторые различия и особенности математического мышления "сильного" и "слабого" полов. Девочки успешнее в оформлении работы, анализе задачи, последовательности собственных действий и их обосновании. Именно в этом мальчики им заметно уступают, но имеют преимущества в генерировании идей и выдвижении гипотез. Поэтому отдавать приоритет математическому мышлению мальчиков нельзя. Оно не лучше и не хуже, а просто другое.

Особенности воспитания накладывают отпечаток и на геометрические представления полов. Например, тяготение к "внутренней геометрии" у девочек и к "внешней" у мальчиков. Объясняется это различными играми и воспитанием тех и других начиная с дошкольного возраста. Так, девочки преимущественно играют в куклы, "дом", "классики", требующие ограниченного замкнутого пространства, т.е. находятся в рамках "внутреннего оперирования". Пространственные манипуляции с этими локальными рядом расположенными объектами не требуют, а иногда даже запрешают 2 активный выход в широкое неограниченное пространство, мир внешней геометрии. Его требуют игры мальчиков. Катание машины по длинным разнообразным неповторяющимся дорогам, игра в конструктор или в войну, требующие постоянных перемещений, неограниченного пространства, порождают тяготение к внешней геометрии и, соответственно, внешнему оперированию.

В результате девочки успешнее в решении геометрических задач, требующих анализа и оперирования в рамках одной ограниченной и замкнутой геометрической фигуры, а мальчики предпочитают геометрические преобразования (осуществление поворотов, проецирования), вычленяют элементы и манипулируют несколькими фигурами на плоскости или в пространстве. Этим, очевидно, и объясняется упомянутая выше лучшая ориентация в окружающем (не замкнутом) пространстве мужчин и их более уверенное управление (ведение) автомобилем (наблюдения Р. Гэра). Но опять-таки женщины проще решают задачи во внутреннем ограниченном пространстве: например, как лучше расставить мебель в комнате, как тот или иной предмет одежды будет выглядеть (гармонировать) на конкретном человеке и т.д. Поэтому говорить о преимуществе одного пола над другим ни в пространственном, ни в математическом мышлении нельзя.

Как же объяснить тот факт, что среди ученых и специалистов- математиков, преподавателей этого предмета в вузах мужская прослойка все же больше? Причин тут несколько.

Во-первых, традиционно повелось, что возиться с техникой - удел мужчин. Это естественным образом порождает, например, житейское разделение труда на мужской и женский. А техника очень тесно связана с математикой и физикой. Женщина же больше сосредоточивается на гуманитарной составляющей (что, кстати, свойственно женской природе - ее мягкости, душевности, гуманности и роли


--------------------------------------------------------------------------------

2 Например, игра в "классики", в которой выход игрока или передвигаемого ногами предмета за рамки начерченных на земле фигур считается ошибкой.

стр. 33


--------------------------------------------------------------------------------

женщины как хранительницы семейного очага). Традиционный взгляд, желание не расставаться с подругами и другие причины вынуждают порой девушек даже с явными склонностями к математике выбирать гуманитарные факультеты.

Во-вторых, известно, что девочки любят мечтать, им свойственны грезы. Поэтому они часто "эксплуатируют" процесс воображения и тем самым развивают у себя способность легко строить и создавать образы. Реалисты-мальчики предпочитают "ломать и собирать", конструировать не только конкретные объекты, но и их образы, а потому для них более привычна и легка деятельность оперирования ими. Между тем не столько создание, сколько именно оперирование пространственными образами является одной из важнейших составляющих как математической, так и творческой деятельности в целом [6; 7].

В-третьих, иллюзию неуспешности девочек в математике создают учительницы. Как ни парадоксально это звучит, но именно в этом кроется один из изъянов чисто женского воспитания.

Действительно, в силу указанных выше причин у "слабого" пола в математическом мышлении доминируют топологическая, порядковая и метрическая подструктуры. Понятно, что свое объяснение педагог-женщина строит с явной опорой именно на них. И понимают это объяснение, естественно, учащиеся с теми же доминирующими подструктурами [8; 9]. В результате в силу совпадения доминирующих подструктур объяснение педагогов-женщин понятнее и доступнее девочкам. Поэтому на первых порах (особенно в начальной школе) девочки быстрее "схватывают" и усваивают материал, часто опережают мальчиков в математической деятельности или, по крайней мере, не уступают им.

С другой стороны, учащимся формулируются "женские" требования. Школьникам предъявляются высокие "претензии" к порядку оформления работы 3 , обязательному доведению решения до числового ответа, соблюдению жесткой последовательности всех объявленных учителем условий записи (например, наличие обязательной проверки решения, непрерывной записи преобразований - цепочкой, а не столбиком), ее аккуратному ведению и т.д. 4 Для мальчишек это мука, а девочки тут на высоте. В старших классах (и особенно в вузе) увеличивается "мужская прослойка" преподавателей математики, многие формальные требования снижаются и больше внимания начинает уделяться генерированию идей, изобретательности, неординарности. И тут уже наступает звездный час юношей, а девушки начинают замечать свое отставание. Но повторим, что мужское преимущество тут не абсолютное, а весьма относительное и даже несколько иллюзорное. Не столько отстают девочки, сколько поднимаются мальчики, и происходит сокращение разрыва между ними.

Генерация идей (алгебраическая подструктура), проецирование и перенос (обобщение) ситуаций (проективная подструктура), безусловно, очень важны. Но при этом возможны и часто возникают многочисленные ошибки. И по- прежнему в математической деятельности требуются глубокий анализ и строгая непрерывность в построении логических суждений и умозаключений (топологическая подструктура), жесткое соблюдение алгоритмов (порядковая подструктура), доведение результата до числового значения (метрическая подструктура). Поэтому без математического мышления женщин здесь не обойтись.

Становится понятным, почему среди победителей математических олимпиад, особенно в старших классах, все же преобладают мальчики (они легче выдают идеи) и почему в любом творческом математическом коллективе не могут обой-


--------------------------------------------------------------------------------

3 Уже много лет при отделах образования существуют "медальные комиссии", которые перепроверяют после учителя работы учащихся, получивших отличные оценки на выпускных письменных экзаменах в школе. Понятно, что члены комиссии (пусть и достаточно опытные и компетентные педагоги) могут оценить лишь внешнее оформление работы, ибо не знакомы с самим учеником, ею индивидуальными особенностями и т.д. Такое недоверие учителю, доминирование внешней, формальной стороны описанного решения, игнорирование индивидуальности школьников трудно объяснить, но 'это порой приводит к серьезным педагогическим ошибкам, "выбивающим из колеи", а иногда и "ломающим" судьбу талантливых математиков.

4 Вопрос о педагогической целесообразности и необходимости этою весьма спорен. Вспомним, например, что еще совсем недавно в начальной школе запрещалось писать авторучками (даже перьевыми). Объяснялось это негативным влиянием на становление почерка детей. Сегодня школьники пользуются шариковыми авторучками с 1 класса.

стр. 34


--------------------------------------------------------------------------------

тись без женщин (они отсекают ошибочные суждения, а затем логично корректируют и заметно развивают их).

Из всего изложенного можно сделать вывод о том, что, во- первых, половые различия в математическом мышлении существуют. Они обусловлены различием его структур, которые, в свою очередь, порождены разным отношением и требованиями к мальчикам и девочкам. Во-вторых, нельзя констатировать преимущество "мужского" математического мышления над "женским": оно не лучше и не хуже, а просто другое. Поэтому в одних областях математической деятельности более успешны мужчины, в других - женщины. В-третьих, для продуктивного формирования математического мышления девочек необходимо учитывать его особенности. Одним из педагогически эффективных путей можно считать решение задач, требующих оперирования отношениями, адекватными доминантным в мышлении подструктурам, и формирования способности не столько создавать пространственные образы, сколько оперировать ими. Впрочем, этот путь, как показали наши исследования, достаточно продуктивен при обучении математике не только девочек [8; 10].

Что же касается женщин-математиков, то Софьи Ковалевские никуда не пропали. Талантливые ученые были и до, и после нашей знаменитой соотечественницы. История развития математики хранит имена первой жрицы вечной науки гречанки Гипатии, жившей в Александрии в начале IV в.; современницы Софьи Ковалевской члена Санкт- Петербургского математического общества, доктора математики, философии и минералогии Елизаветы Федоровны Литвиновой; Героя социалистического труда, лауреата Государственной премии академика Академии наук СССР Пелагеи Яковлевны Полубариновой-Кочиной; лауреата премии им. М. В. Ломоносова первой степени академика Российской академии наук Ольги Арсеньевны Олейник; нашей современницы, известного американского математика Мери Картрайт... Список открыт. Кто из наших учениц следующий?

Литература

1. Возрастные и индивидуальные различия в образном мышлении учащихся. М., 1989. Гл. III.

2. Шемякин Ф. Н. Ориентация в пространстве // Психологическая наука в СССР. М., 1959. Т. 1.

3. Cameron A. E. A comparative study of the mathematical ability of boys and girls in secondary schools // British journal of psychology. 1925-1926. Vol. 16.

4. Крутецкий В. А. Психология математических способностей школьников. М., 1968.

5. Чтобы стать математиком, нужно родиться мальчиком? // Семья и школа. 1998. N 6.

6. Бройль Л. По тропам науки. М., 1962.

7. Каппунович И. Я. Развитие пространственного мышления школьников в процессе обучения математике. Новгород, 1996.

8. Каплунович И. Я., Петухова Т. А. Пять подструктур математического мышления: как их выявить и использовать в преподавании // Математика в школе. 1998. N 5.

9. Каплунович И., Аверкин В. Чему учить - образному мышлению? // Лицейское и гимназическое образование. 1999. N 1.

10. Каплунович И. Я. Гуманизация обучения математике: некоторые подходы // Педагогика. 1999. N 1

стр. 35